Comment est construite une contraposée ?

Je ne sais pas si comme moi vous avez un jour mélangé théorèmes, réciproques et contraposées. Peut-être que lorsque vous étiez à l’école vous vous sentiez tiraillés pour savoir s’il fallait utiliser plutôt le théorème de Pythagore, la réciproque de Pythagore ou la contraposée de Pythagore. Je parle pour ceux qui ont réussi à savoir qu’il fallait utiliser Pythagore.

Si vous faites partie de la jeune génération qui se trouve actuellement au collège, c’est encore pire ! En effet, il n’est plus du tout au programme de savoir distinguer la réciproque ou la contraposée par rapport au théorème. On ne vous explique plus la différence entre ces éléments. Du moment que vous savez qu’il faut utiliser Pythagore, on vous donne les points. Et tant pis si vous utilisez le théorème à la place de la réciproque ou de la contraposée ! Et ça, à mon sens, c’est une catastrophe ! C’est perdre toute l’utilité des mathématiques pour votre vie future. En effet, ce n’est pas tant être capable d’utiliser Pythagore à bon escient qui vous sera utile plus tard ! Vous ne l’utiliserez probablement plus jamais après votre scolarité. C’est d’être capable de faire de bons raisonnements qui vous seront d’une grande utilité.

Voir mon article sur : l’utilité des théorèmes en mathématiques pour votre vie future.

Alors, comment faire un bon raisonnement si on ne sait pas différencier dans une argumentation un théorème, une réciproque et une contraposée ? Ce sont les bases fondamentales d’un raisonnement.

Qu’est-ce qu’un théorème ?

Pour continuer, il faut d’abord bien comprendre ce que c’est qu’un théorème.

En résumé, un théorème c’est :

proposition P => proposition Q

.

Pour plus de détails, voir mon article : comment est structuré un théorème ?

Qu’est-ce qu’une réciproque ?

Maintenant, voyons ce que c’est qu’une réciproque : l’inverse d’un théorème. C’est-à-dire que :

proposition Q => proposition P

Pour plus de détails, voir : comment est construite une réciproque ?

Qu’est-ce qu’une contraposée ?

Pour ça, il faut repartir du théorème.

C’est-à-dire une proposition P qui implique une proposition Q.

Pour faire la contraposée, on prend la négation de la proposition Q pour impliquer la négation de la proposition P.

Négation de la proposition P => négation de la proposition Q

Exemple 1 :

Théorème :

Les multiples de deux sont des nombres pairs.

Contraposée :

Si ce n’est pas un nombre pair, alors ce n’est pas un multiple de deux.

Exemple 2 :

Théorème :

Un rossignol est un oiseau.

On peut aussi dire :

Si c’est un rossignol, alors c’est un oiseau.

Contraposée :

Si ce n’est pas un oiseau, alors ce n’est pas un rossignol.

À vous de jouer :

Faites la contraposée de ces propositions :

Un chêne est un arbre.

Des événements incompatibles sont disjoints.

Paris est en France.

Les multiples de 4 sont des nombres pairs.

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. (théorème de Pythagore)

Voir les réponses.

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