Vous trouverez dans cet article un résumer pour bien faire la différence entre théorème, réciproque et contraposée ainsi que les liens de raisonnements logiques qui les lient entre eux.

Théorème :

P => Q

Exemple : Les multiples de deux sont des nombres pairs.

• Proposition P : multiples de deux.
• Proposition Q : nombres pairs.

Pour plus de détails, voir mon article : comment est structuré un théorème ?

Réciproque :

Une réciproque, c’est l’inverse d’un théorème. C’est-à-dire que :

Q => P

Exemple : Les nombres pairs sont des multiples de deux.

• Proposition P : multiples de deux.
• Proposition Q : nombres pairs.

Pour plus de détails, voir : comment est construite une réciproque ?

Contraposée :

Pour faire la contraposée, on prend la négation de la proposition Q pour impliquer la négation de la proposition P.

non Q =>non P

Exemple : Si le nombre n’est pas pair alors il n’est pas un multiple de deux.

• Proposition P : multiples de deux. Non P : ne pas être un multiple de deux.
• Proposition Q : nombres pairs. Non Q : ne pas être un nombre pair.

Pour plus de détails, voir : comment est construite une contraposée ?

Liens logiques entre théorème, réciproque et contraposée.

si le théorème est vrai	La réciproque n’est pas forcément vraie	La contraposée est vraie
Si la réciproque est vraie	Le théorème n’est pas forcément vrai	La contraposée n’est pas forcément vraie
Si la contraposée est vraie	Le théorème est vrai	Le théorème n’est pas forcément vrai

Exemples :

	Un théorème avec réciproque vraie.	Un théorème avec réciproque fausse.
Théorème	Les multiples de deux sont des nombres pairs.	Les multiples de quatre sont des nombres pairs.
Réciproque	Les nombres pairs sont des multiples de deux.	Les nombres pairs sont des multiples de quatre. Faux car 6 n’est pas un multiple de 4 !
Contraposée	Si le nombre n’est pas pair alors il n’est pas un multiple de deux.	Si le nombre n’est pas pair alors il n’est pas un multiple de quatre.

plus de détails dans les articles suivants

Si le théorème est vrai, cela implique-t-il que la réciproque le soit forcément ?

Si le théorème est vrai, cela implique-t-il que la contraposée le soit forcément ?