Quelle différence y a-t-il entre théorème, réciproque et contraposée ?

Quelle différence y a-t-il entre théorème, réciproque et contraposée ?

Vous trouverez dans cet article un résumer pour bien faire la différence entre théorème, réciproque et contraposée ainsi que les liens de raisonnements logiques qui les lient entre eux.

Théorème :

P => Q

Exemple : Les multiples de deux sont des nombres pairs.

  • Proposition P : multiples de deux.
  • Proposition Q : nombres pairs.

Pour plus de détails, voir mon article : comment est structuré un théorème ?

Réciproque :

Une réciproque, c’est l’inverse d’un théorème. C’est-à-dire que :

Q => P

Exemple : Les nombres pairs sont des multiples de deux.

  • Proposition P : multiples de deux.
  • Proposition Q : nombres pairs.

Pour plus de détails, voir : comment est construite une réciproque ?

Contraposée :

Pour faire la contraposée, on prend la négation de la proposition Q pour impliquer la négation de la proposition P.

non Q =>non P

Exemple : Si le nombre n’est pas pair alors il n’est pas un multiple de deux.

  • Proposition P : multiples de deux. Non P : ne pas être un multiple de deux.
  • Proposition Q : nombres pairs. Non Q : ne pas être un nombre pair.

Pour plus de détails, voir : comment est construite une contraposée ?

Liens logiques entre théorème, réciproque et contraposée.

si le théorème est vraiLa réciproque n’est pas forcément vraieLa contraposée est vraie
Si la réciproque est vraieLe théorème n’est pas forcément vraiLa contraposée n’est pas forcément vraie
Si la contraposée est vraieLe théorème est vraiLe théorème n’est pas forcément vrai

Exemples :

Un théorème avec réciproque vraie.Un théorème avec réciproque fausse.
ThéorèmeLes multiples de deux sont des nombres pairs.Les multiples de quatre sont des nombres pairs.
RéciproqueLes nombres pairs sont des multiples de deux.Les nombres pairs sont des multiples de quatre. Faux car 6 n’est pas un multiple de 4 !
ContraposéeSi le nombre n’est pas pair alors il n’est pas un multiple de deux.Si le nombre n’est pas pair alors il n’est pas un multiple de quatre.

plus de détails dans les articles suivants

Si le théorème est vrai, cela implique-t-il que la réciproque le soit forcément ?

Si le théorème est vrai, cela implique-t-il que la contraposée le soit forcément ?

Partager l'article :

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *