La contraposée d’un théorème est-elle toujours vraie ?

Maintenant vous savez ce que c’est qu’une contraposée, sinon voyez l’article : comment est construite une contraposée ?

La question que l’on pourrait se poser maintenant est : est-ce que la contraposée d’un théorème est toujours vraie ?

Théorème vrai, cela implique-t-il que la contraposée le soit forcément ?

Nous avons vu que, pour la réciproque, ce n’est pas le cas. En effet, on a des théorèmes où les réciproques sont fausses, comme les multiples de 4 sont des nombres pairs en revanche les nombres pairs ne sont pas des multiples de 4. Sous entendu ne sont pas tous des multiples de 4 comme le nombre 6.

Contrairement à la réciproque,

Si le théorème est vrai, la contraposée l’est aussi.

exemple : si le nombre n’est pas pair alors ce n’est pas un multiple de 4. (contraposée du théorème : les multiples de 4 sont des nombres pairs)

À retenir : la contraposée d’un théorème est toujours vraie.

Dans l’autre sens : si la contraposée est vraie, est-ce que le théorème l’est aussi ?

Il se trouve que oui, si la contraposée est vraie, alors le théorème l’est forcément. Savoir ça peut être très utile. Parfois démontrer un théorème peut s’avérer compliqué. Dans de nombreux cas, il peut être plus simple de démontrer la contraposée. Passer par la démonstration de la contraposée est une bonne méthode pour démontrer la véracité d’un théorème.

À retenir :

Si la contraposée d’un théorème est vraie, alors le théorème l’est aussi.

Voici une méthode de raisonnement pour démontrer qu’un théorème est vrai.

On peut donc démontrer la véracité d’un théorème en passant par la véracité de sa contraposée.

Comment est construite une contraposée ?

Je ne sais pas si comme moi vous avez un jour mélangé théorèmes, réciproques et contraposées. Peut-être que lorsque vous étiez à l’école vous vous sentiez tiraillés pour savoir s’il fallait utiliser plutôt le théorème de Pythagore, la réciproque de Pythagore ou la contraposée de Pythagore. Je parle pour ceux qui ont réussi à savoir qu’il fallait utiliser Pythagore.

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Comment est construit un théorème ?

Je vais vous donner mon astuce qui me permet de toujours bien formuler mes théorèmes. Dans cette article, je ne ferai pas la distinction entre théorèmes, propriétés, axiomes, lois, réciproques… Mon astuce marche pour toutes ces catégories. Je vais donc vous parler du théorème dans son sens général. Et vous verrez que cela ne s’applique pas qu’aux maths ! Lire la suite