Vous trouverez dans cet article un résumer pour bien faire la différence entre théorème, réciproque et contraposée ainsi que les liens de raisonnements logiques qui les lient entre eux.
Maintenant vous savez ce que c’est qu’une contraposée, sinon voyez l’article : comment est construite une contraposée ? La question que l’on pourrait se poser maintenant est : est-ce que la contraposée d’un théorème est toujours vraie ? Théorème vrai, cela implique-t-il que la contraposée le soit forcément ? Nous avons vu que, pour la réciproque, ce n’est pas le cas. En effet, on a des théorèmes où les réciproques sont fausses, comme les multiples de 4 sont des nombres…
Je ne sais pas si comme moi vous avez un jour mélangé théorèmes, réciproques et contraposées. Peut-être que lorsque vous étiez à l’école vous vous sentiez tiraillés pour savoir s’il fallait utiliser plutôt le théorème de Pythagore, la réciproque de Pythagore ou la contraposée de Pythagore. Je parle pour ceux qui ont réussi à savoir qu’il fallait utiliser Pythagore.
C’est une très bonne question ! En effet, si le théorème est vrai la réciproque l’est-elle forcément ?Théorème : « Les multiples de deux sont des nombres pairs. »Réciproque : « Les nombres pairs sont divisibles par deux. »À priori, il semble que oui !
Je vous ai donné dans mon article précédemment mon astuce pour toujours savoir comment formuler un théorème. Voyons maintenant comment je fais pour toujours bien formuler une réciproque en mathématiques ! Bien que cela ne s’applique pas qu’au maths ! Tout d’abord, qu’est-ce qu’une réciproque ?
Je vais vous donner mon astuce qui me permet de toujours bien formuler mes théorèmes. Dans cette article, je ne ferai pas la distinction entre théorèmes, propriétés, axiomes, lois, réciproques… Mon astuce marche pour toutes ces catégories. Je vais donc vous parler du théorème dans son sens général. Et vous verrez que cela ne s’applique pas qu’aux maths !