Je vous ai donné dans mon article précédemment mon astuce pour toujours savoir comment formuler un théorème. Voyons maintenant comment je fais pour toujours bien formuler une réciproque en mathématiques ! Bien que cela ne s’applique pas qu’au maths ! Tout d’abord, qu’est-ce qu’une réciproque ?

Définition :

La réciproque est la formulation contraire d’un théorème. C’est-à-dire que la conclusion du théorème devient l’hypothèse de la réciproque et vice-versa.

Exemple :

Théorème : « les multiples de deux sont des nombres pairs. »

Données : multiples de deux.

Conclusion : nombres pairs.

Réciproque : « les nombres pairs sont des multiples de deux. »

Données : nombres pairs.

Conclusion : multiples de deux.

Comment formuler la réciproque ?

Pour la formulation, on utilise plus souvent le Si… Alors… pour la réciproque. Pour ma part, je réserve le « si…alors » que pour les réciproques et je formule mes théorèmes comme vu dans l’article précédent. Comment est construit un théorème ?

Avec un théorème d’une donnée :

En reprenant l’exemple précédent :

« Si c’est un nombre pair, alors il est divisible par deux. »

    Ici, j’ai pris une phrase très simple, donc c’est assez facile et même évident. En restant toujours sur des phrases assez simples, c’est-à-dire avec des théorèmes avec une seule donnée, faire simplement l’inversion hypothèse conclusion ne suffit pas. Dans bien des cas, en particulier en géométrie, il faut garder un bout de l’hypothèse du théorème dans la réciproque pour situer.

Théorème : hypothèse => conclusion. Réciproque : Première structure : Un bout de l’hypothèse reste pour situer, si « la conclusion du théorème », alors « l’hypothèse du théorème ». Deuxième structure : Un bout de l’hypothèse reste pour situer qui a « la conclusion du théorème » est « l’hypothèse du théorème. »

Exemple avec la première structure :

Théorème de Pythagore :

« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. »

Réciproque du théorème de Pythagore :

« Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l’hypoténuse. »

Je ne dis pas le carré de l’hypoténuse, mais le « carré du plus grand côté« , en effet, je ne sais pas encore que c’est un triangle rectangle, ça sera ma conclusion ; je ne peux donc pas parler d’hypoténuse. C’est pourquoi à la fin, je rajoute « et ce côté est l’hypoténuse. » pour préciser que ce plus grand côté sera l’hypoténuse. En effet, savoir que le triangle est rectangle c’est bien, mais de savoir quel est l’angle droit c’est mieux !

Exemple avec la deuxième structure :

Théorème :

“Un triangle isocèle a deux côtés égaux.”

Réciproque :

“Un triangle qui a deux côtés égaux est un triangle isocèle.”

Avec un théorème de deux données :

Pour faire la réciproque, on prend la conclusion du théorème à laquelle on ajoute une des deux hypothèses pour conclure la deuxième hypothèse.

Comme avec l’exemple précédent, un bout de l’hypothèse qui aboutira à la conclusion reste pour situer.

Exemple :

Théorème : « Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux. »

« Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles. »

Un bout de l’hypothèse « deux droites parallèles » restent, c’est-à-dire que l’on n’aura plus que « deux droites » dans l’hypothèse de la réciproque pour situer et on ne saura qu’elles sont parallèles que dans la conclusion.

Remarque : dans mon précédent article « Comment est structuré un théorème ? » j’ai dit que les hypothèses peuvent être séparées par « et », « une virgule », « un adjectif » ou « un verbe ». Ici, on a un bon exemple où c’est séparé par un adjectif « coupées » puis par un verbe « forment« .

A vous de jouer :

Faire les réciproques de ces théorèmes :

Un triangle équilatéral a deux angles de 60°.

Tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment.

Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.

Un droite qui passe par le milieu de deux côtes d’un triangle est parallèle au troisième côté.

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